학부생 타대 인턴 지원 관련 문의드립니다

제가 이번에 타대 대학원 랩실에 컨택을 했고 면담하자는 답장까지 받았습니다.
한편으로 걱정되는 것이 교수님께서 작년에 학교에 오셔서 그 랩실에 석사가 조금 있고 박사는 없는 상태입니다.
제 지인도 이럴 경우는 많이 힘들 거고 많이 지원도 안한다고 해서 괜히 컨택을 했는지 후회가 됩니다.

같은 학교에 이 랩실 말고 다른 랩실 교수님께 컨택 메일을 같이 넣은 것은 이상할까요?
제가 너무 성급히 컨택을 한 것 같은데 같은 학교 다른 교수님께 컨택을 하더라도 같은 학교라 눈치도 보이는 상황입니다 ㅜㅜ

저 어떻게 해야할까요? ㅠㅠ