과거 자대 교수님이었다가 타대로 가신 교수님께 컨택하는 법 질문

안녕하세요 모 지거국 학생입니다. 최근 미생물, 프로바이오틱스쪽에 관심이 생겨 관련 분야로 석사에 도전해보고 싶은 마음이 생겼습니다.
서울대 대학원을 알아보던 중, 마음에 쏙 드는 랩실을 찾았는데, 랩실 교수님이 2018년까지 저희 학교 저희 과 교수님이셨다는 걸 알게되었습니다. 랩실 졸업생분들 프로필을 보니 저희 과 13학번 선배님(학번차이가 많이 나서 아는 사이는 아닙니다.)도 계시더군요.

결론적으로 궁금한것은 이 교수님께 이메일로 바로 직접 컨택을 시도하는 게 좋을지, 아니면 저희 과 지도교수님께 상담 요청하여 그 교수님과 컨택할 수 있는지 여쭤본 후 다리 건너 컨택하는게 좋을지 고민입니다.
+)추가적으로 토익 점수는 있는데 (준비를 충분히 못하고 봐서 700초반대입니다..) 텝스나 토플 점수가 없는 상태입니다.
텝스 점수 없이 일단 컨택부터 해보는 게 좋을지 아니면 1~2달정도 텝스 준비 후 점수 만들고 컨택을 시도하는게 좋을지도 조언해주시면 정말 감사하겠습니다.

타대 대학원 컨택 원한다고 지도교수님께 상담 요청 드리는게 예의가 아닐수도 있겠다는 생각이 망설여지는 이유입니다.. 학부연구생도 해본적 없고 대학원에 무지한 상태라 현실적 조언 많이 해주시면 감사하겠습니다 !!